Abstract
<jats:p>Анализ динамических зависимостей и кинетических взаимосвязей является неотъемлемой частью технологических исследований при проектировании новых пищевых систем на основе молочных матриц, разработки и оптимизации технологий получения молочных продуктов. Особую роль при этом играют установление критических точек, которые имеют потенциал трансформации в граничные условия, элемент определения технологических режимов и т.д. Простейшими базовыми функциями, отражающими кинетические взаимосвязи и динамические зависимости, являются монотонные выпуклые и S-образные. Сложные функции состоят из базовых, сопряженных критическими точками, такими как экстремумы и точки перегиба, и могут быть проанализированы. Неоднозначной для определения критической точкой является граница перехода из области с высоким темпом приращения независимой переменной в область с низким темпом. Существующие подходы к ее установлению либо являются частными случаями, либо не учитывают возможные различия масштабов переменных в исследуемых интервалах. В этой связи весьма актуальна разработка универсального подхода к определению этой критической точки. Целью работы являлось создание универсального подхода для определения критической точки выпуклых участков монотонно возрастающих кинетических и динамических функций. В качестве объектов исследований использовали функциональные взаимосвязи двух переменных вида y = f(x), обладающие монотонностью в целом либо в интервале значений переменной x и являющиеся формальным описанием кинетических или динамических зависимостей целевого фактора y от независимой переменной x, а также их преобразования. Все преобразования выполнены в пределах аналитического инструментария математического анализа. Частично математические преобразования проводили с использованием системы символьной математики Wolfram Mathematica 10.2 (Wolfram Research Ltd.). Визуализацию результатов математических преобразований проводили на базе табличного процессора Microsoft Excel 2010 (Microsoft Corporation Inc.). В результате исследований рассмотрены условия установления критической точки, определяющей границу перехода из области с высоким темпом приращения независимой переменной в область с низким темпом на примере монотонной выпуклой возрастающей функции. Установлено, что одним из необходимых элементов анализа является преобразование рассматриваемых интервалов переменных к единой шкале [0, 1]. При этом в первом приближении аналитически установлена адекватность применения метода средних Лагранжа в функциональном поле с измененными метриками. Однако при этом имела место неопределенность, обусловленная принадлежностью анализируемой функции непрямоугольному пространству, образованному пересекающимися касательными к граничным критическим точкам, осью абсцисс и границей функционального поля. Выполненные аналитические геометрические преобразования позволили определить уравнения для определения искомой критической точки в функциональном поле с дважды измененными метриками в условиях отсутствия неопределенности, порождаемой искажением пространства, вследствие прямоугольности пространства, образуемого касательными к граничным критическим точкам, осью абсцисс и границей функционального поля. Полученное решение неидентично методу средних Лагранжа и потому представляет собой самостоятельный подход. Разработанный подход предварительно распространяется только на монотонные выпуклые возрастающие функции, но логика и последовательность решений, использованные в исследовании, применимы и для разработки подходов, и к остальным 3 видам монотонных функций: выпуклым уменьшающимся, вогнутым возрастающим и уменьшающимся.</jats:p> <jats:p>Analysis of dynamic dependencies and kinetic relationships is an integral part of technological research in the design of new food systems based on dairy matrices, development and optimization of technologies for producing dairy products. A special role in this case is played by the establishment of critical points that have the potential to transform into boundary conditions, an element of determining technological modes, etc. The simplest basic functions reflecting kinetic relationships and dynamic dependencies are monotonic convex and S-shaped. Complex functions consist of basic functions connected by critical points, such as extrema and inflection points, and can be analyzed. The most ambiguous to determine the critical point is the boundary of transition from an area with a high rate of increase of the independent variable to an area with a low one. Existing approaches to its establishment are either special cases or do not take into account possible differences in the scales of variables over the intervals under study. In this regard, it is highly relevant to develop a universal approach to determining this critical point. The goal of the work was to create a universal approach for determining the critical point of convex sections of monotonically increasing kinetic and dynamic functions. The objects of research were milk functional relationships of two variables of the form y = f(x), which are monotonic in general or on an interval of values of the variable x and are a formal description of the kinetic or dynamic dependencies of the target factor y on the independent variable x, as well as their transformation. All transformations were performed within the analytical tools of mathematical analysis. Partial mathematical transformations were carried out using the symbolic mathematics system Wolfram Mathematica 10.2 (Wolfram Research Ltd.). Visualization of the results of mathematical transformations was carried out using the Microsoft Excel 2010 spreadsheet processor (Microsoft Corporation Inc.). As a result of the research, the conditions for establishing a critical point that defines the boundary of transition from a region with a high rate of increase of an independent variable to a region with a low rate are considered using the example of a monotonic convex increasing function. It has been established that one of the necessary elements of analysis is the transformation of the considered intervals of variables to a single scale [0, 1]. At the same time, to a first approximation, the adequacy of using the Lagrange mean method in a functional field with changed metrics has been analytically established. However, there was uncertainty due to the fact that the analyzed function belonged to a non-rectangular space formed by intersecting tangents to the boundary critical points, the abscissa axis and the boundary of the functional field. The performed analytical geometric transformations made it possible to determine equations for determining the desired critical point in a functional field with twice changed metrics in the absence of uncertainty generated by space distortion due to the rectangularity of the space formed by the tangents to the boundary critical points, the abscissa axis and the boundary of the functional field. The resulting solution is not identical to the Lagrange mean method and therefore represents an independent approach. The developed approach tentatively applies only to monotonic convex increasing functions, but the logic and sequence of solutions used in the study are applicable to the development of approaches to the other three types of monotonic functions – convex decreasing, concave increasing and decreasing.</jats:p>