Abstract
<jats:p>Исследуется задача Коши для нелинейного уравнения в частных производных четвертого порядка по времени. Уравнение моделирует распространение продольных волн в стержне Миндлина–Германа, взаимодействующем с нелинейно-упругой внешней средой, при условии существенного преобладания жесткости стержня над жесткостью среды. Работа выполняется в пространстве непрерывных функций, заданных на всей числовой прямой и имеющих пределы на бесконечности. Для задачи Коши построено эквивалентное нелинейное интегральное уравнение. На конечном временном отрезке установлены существование и единственность классического решения, а также приведена оценка его нормы. Получены достаточные условия, приводящие к разрушению (возникновению особенности – разрыва второго рода) решения за конечное время.</jats:p> <jats:p>The Cauchy problem for a nonlinear fourth-order in time partial differential equation is studied. The equation models the propagation of longitudinal waves in a Mindlin–Herrmann rod interacting with a nonlinearly elastic external medium, under the condition of a significant predominance of the rod's stiffness over that of the medium. The work is carried out in the space of continuous functions defined on the entire real line and having limits at infinity. An equivalent nonlinear integral equation corresponding to the Cauchy problem is constructed. On a finite time interval, the existence and uniqueness of a classical solution are established, and an estimate for its norm is provided. Sufficient conditions leading to blowup (the emergence of a singularity – a discontinuity of the second kind) of the solution in finite time are obtained.</jats:p>